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费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

费马小定理

费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出。如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a^(p-1)≡1(mod p)。

费马小定理的证明比较简单,一些小学生的奥数比赛已经涉及,初中生即可看懂全部证明过程。然而,费马大定理非常神奇,他的表达式简单到任何初中生都可以理解,但证明难度如同登天,以至于很多数论专家根本没有去尝试,连这个想法都没有。

费马大定理

家喻户晓的勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,表达式:

X^2+Y^2=Z^2 显然,XYZ有很多组整数解,如(X=3,Y=4,Z=5),(X=6,Y=8,Z=10),......但是,后来人们发现,如果是X^3+Y^3=Z^3则似乎找不到XYZ的整数解,而后数学家费马断定:

X^n+Y^n=Z^n 当n>2时均没有整数解,这就是费马大定理。

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

费马何许人也?

皮耶·德·费马于1601年出生于法国,本职工作是法官,并未受过专业数学教育,数学仅是业余爱好。然而,神奇的是,他是解析几何的发明者之一,概率论的主要创始人,对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨,被誉为“业余数学之王”。费马也是调皮的,他自己没法证明这个猜想,但却在这一结论之后加了一个备注:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。"

数论是数学领域的高峰,费马大定理相当于珠穆朗玛峰,358年来吸引了众多登山者,其中不乏大神,以下是有主要贡献的人物。

1、费马

费马本人证明了n=4无解

2、欧拉

欧拉是屈指可数的接近”神“的人,数学史上公认的4位最伟大的数学家分别是:阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。这位神1707年出生于瑞士。

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

第六版瑞士法郎的欧拉肖像

登上杂志电视算啥?就算登上央视的人也数不胜数。只有对历史有卓越贡献的人,才有可能登上钞票。

我们现在的学生,从初中、高中到大学,都会遇到欧拉,f(x)、Σ、i、e等符号均为其发明,一生共写下了886本书籍和论文。一个人如果能发现一个公式,就足以自豪一生,而欧拉的方程,公式有一大箩筐,涉及代数、数论、几何、物理、天文、弹道学、航海学、建筑学等。在人生最后17年中双目失明,但这位神仍然出产了大量著作,可以心算高数。看到这发现自己跪下都高了,只能趴在地上方能体现对神的敬仰。

欧拉证明了n=3无解

3、热尔曼

索菲·热尔曼1776年出生于法国,她非常热爱数学,自学了数论和微积分等知识。巴黎有一所国家级的数学学院,但并不接受女性入学。她只能冒名为一位已经入学的男生勒布朗去学习(当然这位男生已经离开巴黎了),当时的指导老师是拉格朗日(19世纪世界上最优秀的数学家之一)很快发现,勒布朗先生以前的解题非常糟糕,现在的能力突飞猛进,表达出了很高超的解题技巧,他很奇怪,于是召见了勒布朗,这样热尔曼的身份就暴露了。

热尔曼证明了 X^n+Y^n=Z^n 当n为热尔曼质数时候,”大概率“无解。(注:当一个质数为n,且2n+1也为质数,那么这个质数就是热尔曼质数)

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

法国数学家-索菲·热尔曼

4、狄利克雷和勒让德

这两位数学家在热尔曼的基础上,独立证明了n=5无解。

5、拉梅

1840年,法国人数学家G·拉梅改进了热尔曼的方法,证明了n=7无解。

6、库默尔

1847年,法国数学家拉梅和柯西都宣布即将给出完整的费马大定理证明,可是德国数论家库默尔指出了二者的证明走不通。并证明当n<100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

德国数学家库默尔

7、沃尔夫斯凯尔

1908年,德国实业家、数学爱好者沃尔夫斯凯尔因为失恋决定自杀,他拟好了遗嘱,并打算在午夜钟声响起时开枪射击自己的头部。死前几小时,他觉得无聊就到图书馆坐坐,看到一篇库默尔解释为何柯西和拉梅证明费马大定理的方法行不通的文章,他突然发现这篇论文中的有一个逻辑上的缺陷,沃尔夫斯凯尔花了几个小时修补。当证明完成时离自杀时间已经过去好几小时。于是他重新定了遗嘱。在他死后,家人们发现他大部分遗产(当时的10万马克,现在价值超100万英镑)都被设立为一个奖项,奖给第一个证明费马大定理的人,时间截止到2007年9月13日。

8、哥德尔和科恩

1931年,哥德尔证明了不完备定理。该定理指出少数问题是永远无法被证伪或者证实。这样的问题被哥德尔称为"不可判定"的问题。不过暂时人们还没有发现这类诡异的问题。到了1963年,美国数学家科恩则首先证明了"连续统假设"的不可判定性,这给费马大定理的证明蒙上了阴影,或许它本身就不可判定,数学家花时间去证明只能是浪费生命!

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

美籍奥地利数学家-库尔特·哥德尔

9、图灵

计算机发明者,人工智能之父,计算机的出现,为证明费马大定理提供了工具。很快,数学家就验证了n<1000均无解,1976年,德国数学家瓦格斯塔夫证明n<125000无解,1985年美国数学家罗瑟证明n<41000000无解。然而,这样就算到100亿、1万亿也不行啊,很可能1万亿零1就是解。

正如:X^4+Y^4+Z^4=W^4

欧拉宣称此等式无整数解,结果200多年后,在1988年,哈佛大学的艾尔斯基就发现了整数解:

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4

在天文数字面前,连欧拉这样的神仙都要犯错。没有严谨的数学证明,它只能算猜想,不能作为定理。

10、谷山丰和志村五郎

日本数学家谷山丰在1955年提出:椭圆方程的E-序列对应于一个特定的模形式的M-序列并完全相等,谷山丰在1958年自杀身亡,年仅31岁。几星期之后,他的未婚妻铃木美佐子悲愤殉情。谷山丰的自杀原因让人匪夷所思,遗书表明,他没有明确的自杀原因,只是感到疲劳,好像对未来失去了信心.....总之能提出这类猜想的人都是天才,他们的深邃思想,是我等普通人难以理解的。后来志村五郎继续研究,提出“每一条椭圆曲线,都可以对应一个模形式”,称为“谷山-志村猜想”。注:模形式是在复平面上的某种周期函数

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

11、弗赖

1984年,德国数论家格哈德·弗赖提出,如果有人能证明谷山-志村猜想,那么就相当于证明了费马大定理,但他给出的二者关系的证明有一个错误。

12、里贝特

加利福尼亚大学肯里贝特教授完成了”搭桥“,证明了"谷山-志村猜想"和费马大定理的逻辑关系:如果谷山-志村猜想对每一个半稳定椭圆曲线都成立,那么就等于费马大定理成立。但是,要证明谷山-志村猜想难度有多高?连里贝特自己都说:“谷山-志村猜想是完全无法接近的,我就是其中一个,我没有费神去证明它,甚至没有想过要去试一下”。

13、怀尔斯

安德鲁·怀尔斯1953年出生于英国,在10岁时就被费马大定理吸引住了,从此立下志向,要解决这道世界难题,选择了数学作为终身职业。1975年,在剑桥大学研究,导师科茨教授,专攻椭圆曲线和岩泽理论,取得博士学位后,来到普林斯顿大学任教授。

科茨教授对证明谷山-志村猜想持悲观态度:“.....要真正证明它似乎是不可能的,我必须承认,在我有生之年大概是不可能看到它被证明的”

由此看出,谷山-志村猜想真如黑洞一般深不可测。很多数论家、椭圆方程的专家都没有想过要去尝试,原因是题目太难,基本上等于浪费时间。怀尔斯也承认自己机会不大,他估计大概需要10年努力,结果有两个:大概率是虚度光阴,不会有任何成果,小概率是能实现儿时的梦想,他选择了后者。

从1986年夏末开始独自秘密研究,经过一年的思考,决定采用归纳法作为证明基础。又经过两年,决定采用伽罗瓦群论来处理椭圆曲线的分类问题。

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

法国数学家-埃瓦里斯特·伽罗瓦

伽罗瓦是个神奇的人,1811年生于法国,创立的群论是当代代数与数论的基本支柱之一。伽罗瓦与一位医生的女儿热恋,而这位小姐已经订婚,其未婚夫非常愤怒,要与其决斗。伽罗瓦知道对方是著名枪手,自知必死,于是在决斗前夜将他的所有数学成果疾书下来。1832年5月30日,二人带着手枪来到一块田野上,相距25步互相射击,伽罗瓦腹部中弹倒地,第二天死于腹膜炎,年仅21岁。如果伽罗瓦活到70岁,他极有可能成为欧拉一样的数学天神。

1990年,怀尔斯发现仍然无法证明如果椭圆方程的一项是模形式,那么下一项也如此。他尝试使用“岩泽理论”去解决问题也宣告失败。1991年秋天,怀尔斯采用“科利瓦金-弗莱切”方法初步获得成功,这一切都是在秘密进行中。

由于计算量太大,怀尔斯找到同在普金斯顿大学数学系的凯兹教授,希望能获得其帮助。

1993年6月,怀尔斯完成了证明并做了演讲,震惊了世界,然而,这还不算成功。

整个证明手稿有200页,分为6章,设计复杂的逻辑推理和大量计算,6位审稿人每人负责一章。很快,在第三章发现一个重大缺陷,数学证明犹如一个庞大的工程,只要有一步有问题,整个理论大厦都将倒塌。由于迟迟无法修补整个缺陷,一时间谣言四起。怀尔斯找到审稿人之一的泰勒,这位是“科利瓦金-弗莱切”方法的专家,希望能与之一起来弥补整个缺陷。经过努力,也找不到办法。怀尔斯打算承认证明失败。

1994年9月19日,怀尔斯打算在宣布证明失败前再看一次手稿。突来灵感,单靠岩泽理论不行,单靠“科利瓦金-弗莱切”方法也不行,二者结合才能完美补足。由此,谷山-志村猜想终获证明,全文为130页,1995年5月发表在《数学年刊》上。

费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

怀尔斯

怀尔斯实现了自己童年梦想,也为人类科学做出了巨大贡献。

结束语

费马大定理的证明过程,完全不亚于任何武侠小说,有人”女扮男装“、有人”失恋自杀“、有人”为爱决斗“......情节跌宕起伏,让人时而激愤填膺、时而拍案叫好,时而扼腕叹息,时而如沐春风。

费马大约在1637年左右提出猜想,一直到1995年才获得证明,历时358年。

358年,即使一个人能活到90岁,也需要四代人的光阴。

表面上看,怀尔斯集大成为一身,在学习了少林、武当、峨眉、华山、昆仑、逍遥......等各派武功之后,达到至高境界,登上了数学界的珠穆朗玛峰。

实际上,费马大定理的证明是集体智慧的结晶,如果没有谷山丰、志村五郎、弗赖、里贝特、伽罗瓦、泰勒.....等很多人的成果,怀尔斯不可能取得成功。人类文明的发展是由无数的科学家呕心沥血、前赴后继来推动的。我们今天手机、电脑能完成复杂的任务,其实质都是数学运算。

科学家,是真正值得我们“追”的明星!

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