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数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

算术、初等代数、初等几何和三角,都是以不变的数量和固定的图形为其研究对象,也即常量是初等数学的主要内容。在现实世中“动”和“变”是永恒的、绝对的、普遍的,而常量数学只能有效地描述相对稳定的现象,不能描述运动和变化的现象,于是变量数学应运而生。从常量数学到变量数学是数学思想的一次根本变革,其其标志是解析几何的诞生和微积分的建立。

数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

解析几何

解析几何通过坐标,把代数与几何结合在一起:实数与直线上的点成一一对应,而实数对与平面上的点成一一对应;平面上的曲线可用含两个变量的代数方程来表示,而一个含两个变量的代数方程表示着平面的曲。解析几何采用的方法是“把几何问题转化为代数计算的问题”。这种统一的代数方法,被应用于研究曲线具有什么样的几何性质,并由此发展出代数几何学的新思想;其次,突破了几何直观的限制,开拓了发展数学的新思路,提出了新的数学思想方法;第三,代数与几何的结合,揭示了数学内在的统一性。

数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

微积分

变量数学发展的第二个重要阶段是微积分的创立,17世纪著名的数学家牛顿从运动学,莱布尼兹从几何学,分别独立研究和建立了微积分。微积分思想的出现,一方面向原有的常量数学渗透,使内容得到了极大的丰富,在思想方法上发生了深刻的变化。另一方面,催生了常微分方程论、偏微分方程论、微分几何、复变函数论、解析数论等新的数学分支,并且微积分的思想方法长期影响着数学发展的方向,在整个数学的发展中占了主导地位。微积分扩大了数学思想方法的应用领域,促进了自然科学学科的进一步发展。为唯物辩证法的普遍规律在数学上提供了例证。微积分中处处充满着矛盾:常量与变量、收敛与发散、有限与无限、近似与精确、连续与间断、微分与积分等。

数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

衍生思想

变量思想衍生出了大量的新思想、新方法:集合思想,函数与方程思想,极限思想,数形结合思想等等。集合是现代数学中最基本的概念之一,被广泛应用于数学各分支学科中。集合的概念及运算常常体现在实际问题的解决中,常把某些具有共同属性或性质的事物视为一个整体,对其作统一的研究和处理。由于集合的元素是任意的对象,使数学应用的领域大大拓广。

数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

函数思想的建立是数学从常量数学转入变量数学的枢纽,用联系、变化的观点,建立各变量或集合间的“函数”关系,使数学能有效地揭示事物运动变化的规律,反映事物(集合)间的相互联系,使数学由研究状态进到研究过程,进而引起了传统常量数学观点的更新,如方程、不等式、数列、三角学等内容都可以统归到函数思想下进行研究。

函数与方程是紧密联系的两个概念,方程可以理解为函数的零点问题,其求解可利用函数的有关性质和方法。方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求出未知量的解题思路和策略,它是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。

数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

变量思想开始进入数学,数学思想方法发生了重大的变革,成为近代和现代数学中最重要、最基本的思想之一。在解决具体的数学问题或其他的科学问题时,一定要有变量数学的思想和意识,能够观察、归纳、猜想两个集合间的“因果”或“对应”关系,换句话说,用数学语言准确的描述问题后,通过数学工具来求的解答。

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